Hernandez Esmeralda : Cambio de variable

Buenos días.

En la clase pasada vimos el cambio de variables, es un tema bastante interesante ala cual me llamo mucho la atención la clase y trato de poner todo de mi parte por que si esta siendo un poco complicado la parte de calculo pero para eso estoy para dar mi mejor empeño y demostrar que si selo propone uno lo cumple.

Cambio de variable

El cambio de variable es una técnica matemática que se utiliza para resolver Ecuaciones o sistema de ecuaciones. También se usa para evaluar integrales y antiderivadas. Ecuaciones el cambio de variable se utiliza para resolver ecuaciones bicuadradas, de tercer grado, de cuarto grado, y sistemas exponenciales.

En este método, se crea una ecuación equivalente a la original, se resuelve, y luego se deshace el cambio para obtener el valor de la incógnita.

El método integración por sustitución o cambio de variable se utiliza para evaluar integrales. El método se basa en realizar de manera adecuada un cambio de variable que permita convertir el integrando en algo sencillo.

Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena Antes de enunciar el teorema, considere un ejemplo simple para integrales indefinidas.

Supóngase que la integral a resolver es:

\int x^{2}(2x^{3}+1)^{7}dx

Se hace el cambio de variable

{\begin{aligned}u&=2x^{3}+1\\du&=6x^{2}dx\end{aligned}}

Por lo que la integral se convierte en

{\begin{aligned}\int x^{2}(2x^{3}+1)^{7}dx&={\frac {1}{6}}\int \underbrace {(2x^{3}+1)^{7}} _{u^{7}}\underbrace {6x^{2}dx} _{du}\\&={\frac {1}{6}}\int u^{7}du\\&={\frac {1}{6}}\left({\frac {u^{8}}{8}}\right)+C\\&={\frac {(2x^{3}+1)^{8}}{48}}+C\end{aligned}}

donde $C\in \mathbb {R}$ es una constante arbitraria llamada constante de integración.

Frecuentemente este método es utilizado pero no todas las integrales permiten el uso de este método, en los casos en los que sí es posible, el resultado puede verificarse derivando y comparando con el integrando original.

{\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {(2x^{3}+1)^{8}}{48}}+C\right]&={\frac {1}{48}}\;8(2x^{3}+1)^{7}(6x^{2})\\&=x^{2}(2x^{3}+1)^{7}\end{aligned}}

Para integrales definidas, los límites de integración deben cambiarse pues estos deben estar en términos de la nueva variable pero el procedimiento es similar.