Determinación de Máximos y mínimos de una función

 ola buenos días.

Bueno lo que vi en la clase del sábado pasado fue la determinación de máximo y mínimo de una función, aun que llegue un poco tarde ese día no pude verlo como tal pero  con lo videos  me guio y trato siempre de aprovechar al máximo para retener la mayor información posible.

La determinación del máximo y mínimo de una función es una de las aplicaciones de la derivadas con mayor importancia, veamos en qué consiste:

Se entiende por máximo o mínimo al valor mas grande o valor mas pequeño que puede adquirir una función en un punto de su gráfica.

Imagina una montaña y un valle. El punto más alto de la montaña sería un máximo, mientras que el punto más bajo del valle sería un mínimo. De manera similar, en una función matemática, el máximo es el valor más alto que puede alcanzar la función en un intervalo, y el mínimo es el valor más bajo.

Existen dos tipos de máximos y mínimos: absolutos y relativos. Los máximos y mínimos absolutos son los puntos más altos y más bajos en todo el dominio de la función. Por otro lado, los máximos y mínimos relativos son los puntos más altos y más bajos en una región específica del dominio de la función.

En la gráfica anterior, los puntos P1, P2, P3, Q1, Q2 y Q3 representan los puntos críticos de cada función y al mismo tiempo según el caso:

• P1 es el punto máximo absoluto de la primera función
• P2 es un mínimo relativo
• P3 es un máximo relativo
• Q1 es un mínimo relativo
• Q2 es un máximo relativo
• Q3 es un mínimo absoluto de la segunda función

ejemplos:

  

Solución

  

  

  

por ser una función cuadrática se obtendrán dos valores para x, para conseguir estos valores se puede aplicar factor común y despejamos, o aplicamos la formula de la resolvente.

si aplicamos cualquiera de los métodos tenemos que:

  

   y 

  

al tener dos valores de x, tenemos dos puntos críticos para evaluar si son máximos o mínimos;

para x=-2 sustituimos en la función

  

  

x=(-2,14)

para x=o sustituimos en la función

  

  

x=(0,2)

calculamos la segunda derivada para determinar si son máximos o mínimos;

  

  

para x=0 sustituimos

  

  

para el punto x=(0,2) por dar positivo la segunda derivada se dice que el punto es un mínimo.

para x=-2 sustituimos

  

  

para el punto x=(-2,14) por dar negativo la segunda derivada se dice que el punto es un máximo.

Definiciones:     

 

El máximo absoluto de una función  en un intervalo cerrado  es el mayor valor que toma la función en todo el intervalo.

 

El mínimo absoluto de una función  en un intervalo cerrado  es el menor valor que toma la función en todo el intervalo.

 

         Si nos planteamos el problema de hallar el máximo y el mínimo absolutos de una función   en un intervalo cerrado , habremos de considerar tres clases de puntos:

        

a)     los puntos críticos o singulares de f en .

b)    Los extremos a y b.

c)     Los puntos de  en los que f no es derivable.

 

Si x es un punto máximo o mínimo absoluto de  f  sobre  , entonces x será un punto de una de las tres clases arriba citadas.

 

 

 

El procedimiento para calcular el máximo y el mínimo de una función  f  en un intervalo cerrado  es bastante sencillo:

 

a)     Primero se calcula  para todos aquellos puntos x para los cuales , es decir el valor de la función en los puntos críticos.

b)    Después se calcula  en los puntos x en los  que f no es derivable.

c)     Finalmente se calculan  y 

 

El mayor de todos estos valores será el máximo absoluto, y el menor de todos ellos será el mínimo absoluto.

 

 

Ejemplo:

 

a)  Calcular el máximo y el mínimo absolutos de la función

                en el intervalo .

 

En primer lugar derivaremos la función: 

 

Luego igualamos esa primera derivada a cero:  

 

y resolvemos la ecuación así obtenida. En este caso  

 

El valor  está en el intervalo , luego el primer conjunto de “candidatos” a máximos o mínimos es 

 

El segundo conjunto contiene a los extremos del intervalo: 

 

El tercer conjunto (el conjunto de los puntos donde la función no es derivable) no tiene ningún valor en este caso, pues la función es derivable en todos los puntos del intervalo (es un polinomio y sabemos que todos los polinomios son derivables en cualquier punto de su dominio hasta el orden que deseemos).

 

Por último, sólo tenemos que calcular los valores que toma la función en esos puntos:

 

 

 Por lo tanto el mínimo absoluto es , en el punto , y el máximo absoluto es 20, en el punto .

Ejemplo

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