Calculo de volúmenes de solidos en revolución - Método de discos y aran daleas

 

Buenos días.

Bueno en  la clase pasada vimos calculo de volúmenes de solidos en revolución  métodos de discos y aran daleas, aun que seme a dificultado mas la materia trato de poner todo mi empeño  para obtener  el mejor aprendizaje posible y a estudiar mas  poner en practica lo aprendido.

El método de discos y el método de arandelas son técnicas de cálculo que permiten determinar el volumen de un sólido de revolución. 

Método de discos

Se basa en la idea de que el sólido de revolución se puede aproximar mediante discos.

El área de la sección transversal de un disco es igual al área de un círculo de radio 𝑅(𝑥). 

El volumen del sólido se calcula mediante la integral 𝑉 = ∫ a b A ( x ) d x. 

Método de arandelas

Es una versión modificada del método de discos, que se utiliza para calcular el volumen de un sólido de revolución hueco. 

Se basa en la idea de que el sólido de revolución se puede aproximar mediante arandelas. 

El volumen del sólido se calcula mediante la integral 𝑉 ( x ) = ∫ a b π ( [ f ( x ) ] 2 − [ g ( x ) ] 2 ) d x. 

Un sólido de revolución es un cuerpo que se genera al girar una figura plana alrededor de un eje. Por ejemplo, un cilindro se obtiene al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados. 

Sólidos de Revolución: Volúmenes por Arandelas 

Cómo calcular el volumen de un sólido en revolución?

Ya que el volumen se genera al girar en torno al eje -, el volumen se da por: V = ∫ c d 2 π r h d y , A partir de la figura, podemos identificar los límites de integración: va desde 0 hasta 4.

El cálculo de volúmenes de sólidos de revolución se puede realizar mediante varios métodos, entre ellos el método de discos y el método de arandelas. Ambos son técnicas que se utilizan cuando un área se rota alrededor de un eje para formar un sólido tridimensional. Vamos a ver cómo se aplica cada uno.

1. Método de discos:

Este método se usa cuando el sólido de revolución no tiene un agujero interno (es decir, el sólido es un cuerpo sólido). Para calcular el volumen usando el método de discos, se realiza una integral de la siguiente manera:

Fórmula:

Si una función $f(x)$ describe el borde superior de la región que se va a rotar alrededor del eje $x$, el volumen del sólido de revolución es:

$$V = \pi \int_{a}^{b} \left[ f(x) \right]^2 \, dx$$

Donde:

• $f(x)$ es la función que describe el perfil de la región que se rota.
• $[a, b]$ es el intervalo de integración sobre el eje $x$.

Si la región se rota alrededor del eje $y$, la fórmula sería similar, pero en términos de $y$, es decir:

$$V = \pi \int_{a}^{b} \left[ f(y) \right]^2 \, dy$$

En este caso, se usaría una función $f(y)$ que describe la región a lo largo del eje $y$.

Ejemplo:

Si la curva está dada por $y = f(x)$ y se rota alrededor del eje $x$ en el intervalo de $x = a$ a $x = b$, el volumen sería:

$$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx$$

2. Método de arandelas:

Este método se utiliza cuando el sólido de revolución tiene un agujero interno (es decir, el sólido tiene una cavidad). Aquí, el volumen se calcula como la diferencia entre el volumen de dos discos concéntricos.

Fórmula:

Si el sólido tiene una función exterior $f(x)$ que define el radio del disco exterior y una función interior $g(x)$ que define el radio del disco interior (el agujero), el volumen es:

$$V = \pi \int_{a}^{b} \left[ f(x)^2 - g(x)^2 \right] \, dx$$

Donde:

• $f(x)$ es la función que describe el radio del disco exterior.
• $g(x)$ es la función que describe el radio del agujero (disco interior).
• $[a, b]$ es el intervalo de integración sobre el eje $x$.

Si la región se rota alrededor del eje $y$, la fórmula también se puede escribir en términos de $y$:

$$V = \pi \int_{a}^{b} \left[ f(y)^2 - g(y)^2 \right] \, dy$$

Ejemplo:

Si tienes un sólido generado por rotar una región limitada por $y = f(x)$ y $y = g(x)$, y se rota alrededor del eje $x$ en el intervalo de $x = a$ a $x = b$, el volumen es:

$$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)^2 - g(x)^2] \, dx$$

Resumen de diferencias:

Método de discos: Usado cuando no hay cavidad interna. Calculas el volumen de un disco y lo sumas (integras) en el intervalo de interés.

Método de arandelas: Usado cuando hay un agujero interno (como un anillo). Calculas el volumen de la diferencia entre dos discos concéntricos.

La elección entre discos o arandelas depende de si el sólido tiene o no un agujero.

Con el método de discos, calculamos el volumen de un sólido sin cavidad interior.

Con el método de arandelas, calculamos el volumen de un sólido con una cavidad interna.

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