La integral indefinida

 Buenos días.

En la clase pasada vimos la integral indefinida es un tema bastante interesante, pero no voy anegar que seme ase un poco complicado agárrale el ritmo delos problemas mas que nada  cuando nos tocan ejercicios con rais a mi en lo personal llega mucho a confundirme  en el aspecto de como sacar los números decimales.

¿Qué es una integral indefinida?

Una integral indefinida es una operación matemática que consiste en calcular la función primitiva de una función. Es decir, dada una función f(x), la integral indefinida de la función f(x) es igual al conjunto de funciones que al ser derivadas dan como resultado f(x).

Así pues, la función obtenida de resolver una integral indefinida se llama función primitiva.

•  es el signo de integración.
•  es la función a integrar.
•  es el diferencial de x, que indica la variable de la función que se integra.
•  es la función resultado de la integral.
• Integral de una constante:

  

• Integral de una potencia:

  

• Integrales de funciones exponenciales:

  

  

• Integrales logarítmicas:

  

  

  

• Integrales trigonométricas:

  

  

  

• Métodos de integración y de las propiedades de las integrales.

  

Linealidad de la integral indefinida

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La primitiva es lineal, es decir:

1. Si f es una función que admite una primitiva F sobre un intervalo I, entonces para todo real k, una primitiva de kf sobre el intervalo I es kF.
2. Si F y G son primitivas respectivas de dos funciones f y g, entonces una primitiva de f + g es F + G.

La linealidad se puede expresar como sigue:

${\displaystyle \int (k\cdot f\left(x\right)+l\cdot g\left(x\right))=k\cdot \int f\left(x\right)+l\cdot \int g\left(x\right)}$

En cálculo infinitesimal, la función primitiva o antiderivada de una función f es una función F cuya derivada es f, es decir, F ′ = f.

Una condición suficiente para que una función f admita primitivas sobre un intervalo es que sea continua en dicho intervalo.

Si una función f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad, que difieren entre sí en una constante: si F₁ y F₂ son dos primitivas de f, entonces existe un número real C, tal que F₁ = F₂ + C. A C se le conoce como o ¿constante de integración  Como consecuencia, si F es una primitiva de una función f, el conjunto de sus primitivas es F + C. A dicho conjunto se le llama integral indefinida de f y se representa como:

${\displaystyle \int f}$   o bien   ${\displaystyle \int f(x)dx}$

El campo vectorial definido asigna un vector (1,f(x)) a cada punto  del plano donde . Se muestran tres curvas de las infinitas posibles curvas primitivas de  que se pueden obtener variando la constante de integración.

Ejemplo

Una primitiva de la función ${\displaystyle f(x)=\cos (x)}$ en ${\displaystyle \mathbb{R},}$ es la función ${\displaystyle F(x)=\sin (x)}$ ya que:

${\displaystyle \frac{d}{dx}(\sin (x))=\cos (x)\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}}$

Dado que la derivada de una constante es cero, tendremos que cos(x) tendrá un número infinito de primitivas tales como sin(x), sin(x) + 5, sin(x) - 100, etc. Es más, cualquier primitiva de la función f(x) = cos(x) será de la forma sin(x) + C donde C es una constante conocida como constante de integración.

La constante de integración.

La derivada de cualquier función constante es cero. Una vez que se ha encontrado una primitiva F, si se le suma o resta una constante C, se obtiene otra primitiva. Esto ocurre porque (F + C) ' = F ' + C ' = F ' + 0 = F '. La constante es una manera de expresar que cada función tiene un número infinito de primitivas diferentes.

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