Derivadas trigonometricas

Aprendiendo:

bueno en clase vimos derivadas trigonométricas  un tema bastante interesante  ala cual me llamo mucho la atención pero así mismo fue un poco confuso la manera de como manejar cada derivada, pero así mismo se trata de aprender lo mas que se pueda para poder resolver cada  una.

Derivadas trigonométricas.

Derivada de la función seno

La derivada de la función seno estándar es:

${\sin }^{\mathrm{\prime }}(x)=\cos (x)$

Para derivar a funciones seno de la forma $\sin (nx)$, usamos la regla de la cadena con $y=\sin (u)$ y $u=nx$.

De igual forma, para derivar funciones de la forma ${\sin }^n(x)=(\sin (x){)}^n$, usamos la regla de la cadena con $y=u^n$ y $u=\sin (x)$.

Derivada de la función coseno

La derivada de la función coseno estándar es:

${\cos }^{\mathrm{\prime }}(x)=-\sin (x)$

Si tenemos funciones de la forma $\cos (nx)$, podemos usar la regla de la cadena con $y=\cos (u)$ y $u=nx$.

En el caso de funciones de la forma ${\cos }^n(x)=(\cos (x){)}^n$, usamos la regla de la cadena con $y=u^n$ y $u=\cos (x)$.

Derivada de la función tangente

La derivada de la función tangente estándar es:

${\tan }^{\mathrm{\prime }}(x)={\sec }^2(x)$

Para funciones de la forma $\tan (nx)$, usamos la regla de la cadena con $y=\tan (u)$ y $u=nx$.

Para funciones de la forma ${\tan }^n(x)=(\tan (x){)}^n$, usamos la regla de la cadena con $y=u^n$ y $u=\tan (x)$.

Derivada de la función cosecante

La derivada de la función cosecante estándar es:

${\mathrm{cosec}}^{\mathrm{\prime }}(x)=-\mathrm{cosec}(x)\cot (x)$

Las funciones cosecante de la forma $\mathrm{cosec}(nx)$, pueden ser derivadas con la regla de la cadena al usar $y=\mathrm{cosec}(u)$ y $u=nx$.

De igual forma, las funciones de la forma ${\mathrm{cosec}}^n(x)=(\mathrm{cosec}(x){)}^n$, son derivadas con la regla de la cadena con $y=u^n$ y $u=\mathrm{cosec}(x)$.

Derivada de la función secante

La derivada de la función secante estándar es:

${\sec }^{\mathrm{\prime }}(x)=\sec (x)\tan (x)$

Las funciones secante de la forma $\sec (nx)$ son derivadas usando la regla de la cadena con $y=\sec (u)$ y $u=nx$.

De igual forma, las funciones de la forma ${\sec }^n(x)=(\sec (x){)}^n$ son derivadas usando la regla de la cadena con $y=u^n$ y $u=\sec (x)$.

Derivada de la función cotangente

La derivada de la función cotangente estándar es:

${\cot }^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\mathrm{cosec}}^2(x)$

Para derivar a funciones cotangente de la forma $\cot (nx)$, aplicamos la regla de la cadena con $y=\cot (u)$ y $u=nx$.

Las funciones de la forma ${\cot }^n(x)=(\sin (x){)}^n$, también son derivadas usando la regla de la cadena con $y=u^n$ y $u=\cot (x)$

Ejercicios resueltos de derivadas de funciones trigonométricas

EJERCICIO 1

Encuentra la derivada de $y=\sin (5x)$.

Solución

Podemos usar la regla de la cadena con $u=5x$. Entonces, tenemos:

$y=\sin (u)$ y $u=5x$

sus derivadas son:

${\displaystyle \frac{dy}{du}}=\cos (u)$ y ${\displaystyle \frac{du}{dx}}=5$

Ahora, aplicamos la regla de la cadena:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}=\cos (u)\times 5$$

$$\frac{dy}{dx}=5\cos (5x)$$

Generalmente, escribimos de la siguiente forma para encontrar la respuesta más rápido:

$$\frac{dy}{dx}=\cos (5x)\times (5x{)}^{\mathrm{\prime }}=5\cos (5x)$$

EJERCICIO 2

Encuentra la derivada de $y={\cos }^2(x)$.

Solución

Podemos empezar escribiendo como $(\cos (x){)}^2$. Luego, tenemos:

$y=u^2$ y $u=\cos (x)$

Las derivadas son:

${\displaystyle \frac{dy}{du}}=2u$ y ${\displaystyle \frac{du}{dx}}=-\sin (x)$

Usando la regla de la cadena, tenemos:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}=2u(-\sin (x))$$

$$\frac{dy}{dx}=-2\cos (x)\sin (x)$$

Generalmente, escribimos de la siguiente forma para encontrar la respuesta más rápido:

$$\frac{dy}{dx}=2\cos (x)\times (\cos (x){)}^{\mathrm{\prime }}=-2\cos (x)\sin (x)$$

EJERCICIO 3

Encuentra las derivadas de las siguientes funciones:

a) $y=\sin (x^2+2)$ b) $y=\cos (\sqrt{x})$

Solución

a) Cuando $y=\sin (x^2+2)$, tenemos:

$$\frac{dy}{dx}=\cos (x^2+2)\times (x^2+2{)}^{\mathrm{\prime }}$$

$$\frac{dy}{dx}=2x\cos (x^2+2)$$

b) Cuando $y=\cos (\sqrt{x})$, tenemos:

$$\frac{dy}{dx}=-\sin (\sqrt{x})\times (\sqrt{x}{)}^{\mathrm{\prime }}$$

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{2\sqrt{x}}\sin (\sqrt{x})$$

EJERCICIO 4

¿Cuáles son las derivadas de las siguientes funciones?

a) $y={\sin }^4(x)$ b) $y={\cos }^3(2x)$

Solución

a) Cuando $y={\sin }^4(x)$, tenemos:

$$\frac{dy}{dx}=4{\sin }^3(x)\times (\sin (x){)}^{\mathrm{\prime }}$$

$$\frac{dy}{dx}=4{\sin }^3(x)\cos (x)$$

b) Cuando $y={\cos }^3(2x)=(\cos (2x){)}^3$, tenemos:

$$\frac{dy}{dx}=3(\cos (2x){)}^2\times (\cos (2x){)}^{\mathrm{\prime }}$$

$$=3(\cos (2x){)}^2\times (-2\sin (2x){)}^{\mathrm{\prime }}$$

$$\frac{dy}{dx}=-6{\cos }^2(2x)\sin (2x)$$

EJERCICIO 5

Deriva a las siguientes funciones:

a) $y=\tan (3x)$ b) $y=4{\mathrm{cosec}}^2(x)$

Solución

a) Cuando $y=\tan (3x)$, tenemos:

$$\frac{dy}{dx}={\sec }^2(3x)\times (3x{)}^{\mathrm{\prime }}$$

$$\frac{dy}{dx}=3{\sec }^2(3x)$$

b) Cuando $y=4{\mathrm{cosec}}^2(x)$, tenemos:

$$\frac{dy}{dx}=8\mathrm{cosec}(x)\times (\mathrm{cosec}(x){)}^{\mathrm{\prime }}$$

$$=8\mathrm{cosec}(x)(-\mathrm{cosec}(x)\cot (x))$$

$$\frac{dy}{dx}=-8{\mathrm{cosec}}^2(x)\cot (x)$$