Derivación implicita y de orden superior

 BUENAS NOCHES. 

27-nov-2024

En la clase anterior del día sábado vimos la  derivación implícita, aun que es un poco mas complicada que las anteriores tengo que admitir que me es confuso i me ase dudar de los resultados obtenidos pero trato siempre de practicar día adía para poder quedarme con un mejor resultado en mi aprendizaje.

                                                        

Hay funciones que se presentan de forma explícita, es decir, donde la variable “y” está escrita en función de la variable “x”. 

Ejemplos:

Sin embargo, hay otras funciones que no pueden ser planteadas de tal manera que la variable “y” quede escrita en función únicamente de la variable “x”.

Ejemplos:

En algunos textos, se establece que una función implícita es una relación que se expresa en términos de x y y por ejemplo:

A fin de derivar este tipo de funciones se tienen que derivar término a término los elementos de la igualdad respecto a la variable que se indica y al final se despeja la derivada.

Ejemplo 1: Determina la derivada de la siguiente función implícita.

Ejemplo 2: Determina la derivada de la siguiente función implícita.

cos⁡(x+y) = sen(x-y)

Se derivan ambos miembros de la igualdad:

Derivadas de orden superior:

Las derivadas de orden superior de una función se obtienen al derivar ésta, tantas veces como lo indique el orden de la derivada requerida.
La derivada de una función se llama primera derivada y se representa de la siguiente manera:

Si obtenemos la derivada de la derivada de una función a la función obtenida se le llama segunda derivada y se representa como:

El proceso puede repetirse tantas veces como se requiera. A este proceso se le da el nombre de derivadas sucesivas.

Ejemplo 1: Encuentra la segunda derivada de la siguiente función.

y = cos3 x

Obtenemos primero la 1ª. Derivada:

A partir de la función obtenida se obtiene la segunda derivada:

Ejemplo 2: Encuentra la cuarta derivada de la siguiente función.

fx = x3+2x2-x

Obtenemos las derivadas de manera sucesiva de tal modo que el resultado obtenido es:

ABRIR LIKE.

Derivadas exponenciales y logarítmicas.

 Buenos días.

Bueno en la clase del día sábado  fue muy interesante ver la parte de derivadas exponenciales y logarítmicas, con la explicación del profe hilos ejemplos fue bastante bien ir captando muchas cosas aunque admito que seme complica   trato de cada día dar lo mejor de mi por  que se que no será fácil pero tampoco imposible.

Exponenciales y logarítmica.

a derivada de la función exponencial de base e es equivalente al producto de la misma función por la derivada del exponente.

Por ejemplo, la derivada del número e elevado a 4x es:

a) Logarítmicas

A continuación, se presentan las propiedades de los logaritmos, las cuales, pueden ser aplicadas para simplificar una función al momento de obtener su derivada. Estas propiedades se aplican por igual a logaritmos naturales y de base variables.

                                                                     

c) Exponenciales

Ejemplo 1: Estima la derivada de la función: f(x)=x2 ln⁡(mx)2

Se utiliza la regla de la derivada de un cociente:

Ejemplo 2: Estima la derivada de la función: fx=ln⁡(senx)

Se deriva la función y mediante identidades trigonométricas se obtiene:

Ejemplo 3: Estima la derivada de la función: f(x)=e2x-1

Se deriva la regla:

Ejemplo 4:

Abrir like..                                                    

Derivadas trigonometricas

Aprendiendo:

bueno en clase vimos derivadas trigonométricas  un tema bastante interesante  ala cual me llamo mucho la atención pero así mismo fue un poco confuso la manera de como manejar cada derivada, pero así mismo se trata de aprender lo mas que se pueda para poder resolver cada  una.

Derivadas trigonométricas.

Derivada de la función seno

La derivada de la función seno estándar es:

${\sin }^{\mathrm{\prime }}(x)=\cos (x)$

Para derivar a funciones seno de la forma $\sin (nx)$, usamos la regla de la cadena con $y=\sin (u)$ y $u=nx$.

De igual forma, para derivar funciones de la forma ${\sin }^n(x)=(\sin (x){)}^n$, usamos la regla de la cadena con $y=u^n$ y $u=\sin (x)$.

Derivada de la función coseno

La derivada de la función coseno estándar es:

${\cos }^{\mathrm{\prime }}(x)=-\sin (x)$

Si tenemos funciones de la forma $\cos (nx)$, podemos usar la regla de la cadena con $y=\cos (u)$ y $u=nx$.

En el caso de funciones de la forma ${\cos }^n(x)=(\cos (x){)}^n$, usamos la regla de la cadena con $y=u^n$ y $u=\cos (x)$.

Derivada de la función tangente

La derivada de la función tangente estándar es:

${\tan }^{\mathrm{\prime }}(x)={\sec }^2(x)$

Para funciones de la forma $\tan (nx)$, usamos la regla de la cadena con $y=\tan (u)$ y $u=nx$.

Para funciones de la forma ${\tan }^n(x)=(\tan (x){)}^n$, usamos la regla de la cadena con $y=u^n$ y $u=\tan (x)$.

Derivada de la función cosecante

La derivada de la función cosecante estándar es:

${\mathrm{cosec}}^{\mathrm{\prime }}(x)=-\mathrm{cosec}(x)\cot (x)$

Las funciones cosecante de la forma $\mathrm{cosec}(nx)$, pueden ser derivadas con la regla de la cadena al usar $y=\mathrm{cosec}(u)$ y $u=nx$.

De igual forma, las funciones de la forma ${\mathrm{cosec}}^n(x)=(\mathrm{cosec}(x){)}^n$, son derivadas con la regla de la cadena con $y=u^n$ y $u=\mathrm{cosec}(x)$.

Derivada de la función secante

La derivada de la función secante estándar es:

${\sec }^{\mathrm{\prime }}(x)=\sec (x)\tan (x)$

Las funciones secante de la forma $\sec (nx)$ son derivadas usando la regla de la cadena con $y=\sec (u)$ y $u=nx$.

De igual forma, las funciones de la forma ${\sec }^n(x)=(\sec (x){)}^n$ son derivadas usando la regla de la cadena con $y=u^n$ y $u=\sec (x)$.

Derivada de la función cotangente

La derivada de la función cotangente estándar es:

${\cot }^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\mathrm{cosec}}^2(x)$

Para derivar a funciones cotangente de la forma $\cot (nx)$, aplicamos la regla de la cadena con $y=\cot (u)$ y $u=nx$.

Las funciones de la forma ${\cot }^n(x)=(\sin (x){)}^n$, también son derivadas usando la regla de la cadena con $y=u^n$ y $u=\cot (x)$

Ejercicios resueltos de derivadas de funciones trigonométricas

EJERCICIO 1

Encuentra la derivada de $y=\sin (5x)$.

Solución

Podemos usar la regla de la cadena con $u=5x$. Entonces, tenemos:

$y=\sin (u)$ y $u=5x$

sus derivadas son:

${\displaystyle \frac{dy}{du}}=\cos (u)$ y ${\displaystyle \frac{du}{dx}}=5$

Ahora, aplicamos la regla de la cadena:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}=\cos (u)\times 5$$

$$\frac{dy}{dx}=5\cos (5x)$$

Generalmente, escribimos de la siguiente forma para encontrar la respuesta más rápido:

$$\frac{dy}{dx}=\cos (5x)\times (5x{)}^{\mathrm{\prime }}=5\cos (5x)$$

EJERCICIO 2

Encuentra la derivada de $y={\cos }^2(x)$.

Solución

Podemos empezar escribiendo como $(\cos (x){)}^2$. Luego, tenemos:

$y=u^2$ y $u=\cos (x)$

Las derivadas son:

${\displaystyle \frac{dy}{du}}=2u$ y ${\displaystyle \frac{du}{dx}}=-\sin (x)$

Usando la regla de la cadena, tenemos:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}=2u(-\sin (x))$$

$$\frac{dy}{dx}=-2\cos (x)\sin (x)$$

Generalmente, escribimos de la siguiente forma para encontrar la respuesta más rápido:

$$\frac{dy}{dx}=2\cos (x)\times (\cos (x){)}^{\mathrm{\prime }}=-2\cos (x)\sin (x)$$

EJERCICIO 3

Encuentra las derivadas de las siguientes funciones:

a) $y=\sin (x^2+2)$ b) $y=\cos (\sqrt{x})$

Solución

a) Cuando $y=\sin (x^2+2)$, tenemos:

$$\frac{dy}{dx}=\cos (x^2+2)\times (x^2+2{)}^{\mathrm{\prime }}$$

$$\frac{dy}{dx}=2x\cos (x^2+2)$$

b) Cuando $y=\cos (\sqrt{x})$, tenemos:

$$\frac{dy}{dx}=-\sin (\sqrt{x})\times (\sqrt{x}{)}^{\mathrm{\prime }}$$

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{2\sqrt{x}}\sin (\sqrt{x})$$

EJERCICIO 4

¿Cuáles son las derivadas de las siguientes funciones?

a) $y={\sin }^4(x)$ b) $y={\cos }^3(2x)$

Solución

a) Cuando $y={\sin }^4(x)$, tenemos:

$$\frac{dy}{dx}=4{\sin }^3(x)\times (\sin (x){)}^{\mathrm{\prime }}$$

$$\frac{dy}{dx}=4{\sin }^3(x)\cos (x)$$

b) Cuando $y={\cos }^3(2x)=(\cos (2x){)}^3$, tenemos:

$$\frac{dy}{dx}=3(\cos (2x){)}^2\times (\cos (2x){)}^{\mathrm{\prime }}$$

$$=3(\cos (2x){)}^2\times (-2\sin (2x){)}^{\mathrm{\prime }}$$

$$\frac{dy}{dx}=-6{\cos }^2(2x)\sin (2x)$$

EJERCICIO 5

Deriva a las siguientes funciones:

a) $y=\tan (3x)$ b) $y=4{\mathrm{cosec}}^2(x)$

Solución

a) Cuando $y=\tan (3x)$, tenemos:

$$\frac{dy}{dx}={\sec }^2(3x)\times (3x{)}^{\mathrm{\prime }}$$

$$\frac{dy}{dx}=3{\sec }^2(3x)$$

b) Cuando $y=4{\mathrm{cosec}}^2(x)$, tenemos:

$$\frac{dy}{dx}=8\mathrm{cosec}(x)\times (\mathrm{cosec}(x){)}^{\mathrm{\prime }}$$

$$=8\mathrm{cosec}(x)(-\mathrm{cosec}(x)\cot (x))$$

$$\frac{dy}{dx}=-8{\mathrm{cosec}}^2(x)\cot (x)$$