Integración por fracciones parciales

  buenos días.

El sábado pasado vimos integración por fracciones parciales, Un tema bastante interesante lo cual es nos ayuda con las fracciones mas complejas para  realizarlas mas simples de igual manera si es un poco laborioso pero con empeño y practica se que podre entenderle mejor para que no sea tan complicado.

La integración por fracciones parciales es un método de cálculo integral que permite descomponer una fracción compleja en fracciones más simples. Esto facilita el cálculo o la integración de la expresión.

                                              

Las fracciones parciales es un método de integración que permite resolver integrales de ciertas funciones racionales que no se pueden resolver por los otros métodos (formula directa, por partes, cambio de variable, etc.) 

para poder comprender mejor el tema ahí que definir que es una fracción raciona; se le llama fracción racional del tipo:

cuyo numerador y denominador son polinomios; sin embargo, si el exponente de los términos del numerador es igual o mayor al del denominador, la fracción se transforma a división: 

Pero, en el caso de una fracción donde el numerador es el el que tiene el exponente menor  y el denominador tiene el exponente mayor, la fracción puede transformarse en una suma de fracciones parciales por lo cual en denominador debe esta factorizado:

El proceso inverso incluye el uso de fracciones parciales, que tiene como objetivo encontrar la solución de las constantes involucradas:

caso 1: factores lineales distintos.

En este caso a cada factor lineal de la forma ax + b del denominador le corresponde una constante, se aumentara en numero de constantes dependiendo de cantos factores se tenga en el denominador.

Nota: Todas las integrales que utilicen este caso su resultado sera el logaritmo natural de cada uno de los factores.

caso 2: factores lineales repetidos

El numero de factores será igual al grado (exponente) del polinomio; es decir; a cada factor lineal ax+b que figure n veces en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma :

Nota: Una de las integrales correspondientes a este caso da como resultado un logaritmo natural, mientras que las restantes se resuelven mediante un cambio de variables.

caso 3:factores cuadráticos distintos

En este caso a cada factor le corresponderán dos constantes, de las cuales una de estas será el coeficiente del termino lineal. El denominador contiene factores de segundo grado, pero ninguno de estos se repite.
A todo factor no repetido de segundo grado, como  

le corresponde una fracción parcial de la forma 

caso 4: FACTORES CUADRÁTICOS REPETIDOS

El denominador contiene factores de segundo grado y algunos de estos se repiten.
A todo factor de segundo grado repetido n veces, como 

Corresponderá la suma de n fracciones parciales, de la forma 

CASO I

Pasos

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El cociente de dos polinomios se denomina función racional. La derivación de una función racional conduce a una nueva función racional que puede obtenerse por la regla de la derivada de un cociente. Por otra parte, la integración de una función racional puede conducirnos a funciones que no son racionales.

Integración por partes

 Buenos días.

En la clase del sábado pasado vimos Integración por partes,  un tema bastante interesante ala cual tengo que admitir que seme y so un poco menos complicado de entender alas otras clases pasadas aun que no del todo pero se que  con el estudio y la practica podre dominarlo mejor.                                                                                                                                 

Fórmula de la integración por partes                 

Cuando el integrando está formado por un producto (o una división, que podemos tratar como un producto) se recomienda utilizar el método de integración por partes que consiste en aplicar la siguiente fórmula:

Regla mnemotécnica: Un Día Vi Una Vaca MENOS Flaca Vestida De Uniforme (UDV = UV - FVDU).

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Ver demostración de la fórmula

Sean 

$u$

 y 

$v$

 dos funciones, entonces, la derivada del producto 

$u\cdot v$

 es

Aplicando integrales en ambos lados de la igualdad (y aplicando la propiedad de la integral de la suma) tenemos:

Ahora bien, la integral de la derivada de una función es dicha función, es decir,

Por tanto,

De donde

Y ahora sólo tenemos que cambiar la notación: 

$v^{\prime }=dv$

 y 

$u^{\prime }=du$

:

Ejemplo. 

  A diferencia de las derivadas, no existe una fórmula para poder integrar cualquier producto de funciones. Lo más cercano que tenemos a una regla para integrar producto de funciones es la integración por partes. Curiosamente, se basa en la fórmula para derivar un producto de funciones.

Sin embargo, la integración por partes transforma una integral de un producto en otra integral. Esta fórmula no funciona para integrar todos los productos de funciones

La fórmula de la integración por partes es

Observemos que tenemos que derivar  e integrar , por lo que será conveniente que la integral de  sea sencilla.

En general, las funciones polinómicas, logarítmicas y arcotangente se eligen como . Mientras que las funciones exponenciales, seno y coseno se eligen como .             Deducción de la fórmula,Supongamos que tenemos las funciones  y . Entonces su derivada está dada por

Si integramos ambos lados de la ecuación, obtenemos

Luego, si pasamos  al lado izquierdo, obtenemos

Ejemplo 1. 

Tenemos un producto entre la función  y . Como se mencionó anteriormente, en este tipo de casos se elige  y .

Derivamos :

Integramos :

De manera que la integral nos queda

Así,

             

Ejemplo 2.

Tenemos un producto entre la función  y . En este tipo de casos se elige  y .

Derivamos :

Integramos :

De manera que la integral nos queda

Así,