Reglas de derivación algebraicas

APRENDIENDO:

 Lo que vimos en la clase fue las forma de como derivar con las reglas algebraicas y para asarla más fácil de poderlo resolver apura mete sin Acer todo el procedimiento, pero siempre cuando respetemos todas las reglas i vimos 4 reglas ala cual es más fácil de comprender, pero igual ay cositas que aun cuestan comprender.

Las reglas de derivación algebraicas son un conjunto de reglas fijas que se aplican de forma sistemática para calcular la derivada de una función. Algunas de las reglas básicas de derivación son:

$d/dx\left(k\right)=0$

La regla de la suma:

$d/dx\left[f\right(x)+g(x\left)\right]=f^{\prime }\left(x\right)+g^{\prime }\left(x\right)$

La regla de la diferencia:

$d/dx\left[f\right(x)-g(x\left)\right]=f^{\prime }\left(x\right)-g^{\prime }\left(x\right)$

La regla del múltiplo constante:

$d/dx\left[kf\right(x\left)\right]=k{f}^{\prime }\left(x\right)$

La derivada de una constante.

Según lo que hemos descubierto anteriormente la derivada de una constante es cero. Veamos un ejemplo.

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f(x) = 7f '(x) = 0

 La derivada de una potencia entera positiva

Como ya sabemos, la derivada de xⁿ es n x^n-1, entonces:

f(x)= x⁵f '(x)= 5x⁴  

    Pero que sucede con funciones como f(x) = 7x⁵, aún no podemos derivar la función porque no sabemos cual es la regla para derivar ese tipo de expresiones.

 La derivada de una constante por una función.

Para derivar una constante por una función, es decir cf(x), su derivada es la constante por la derivada de la función, o cf'(x), por ejemplo:>

 

f(x)= 3x5  f '(x)= 3(5x4) = 15x4

La derivada de una suma

Tampoco podemos diferenciar (o derivar) una suma de funciones. La regla para la derivada de una suma es (f+g)'=f'+g', es decir, la derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas de cada uno de los términos por separado. Entonces:

 

f(x)= 2x3 + x  f '(x)= 6x2 + 1

 La derivada de un producto

Aún no hemos dicho cuál es la regla para derivar un producto de funciones, la regla para la derivada de un producto es (fg)'= fg'+f'g. En español esto se interpreta como "la derivada de un producto de dos funciones es la primera, por la derivada de la segunda, más la segunda por la derivada de la primera".

 

f(x)= (4x + 1)(10x2 - 5)  f '(x)= 20x(4x + 1) + 4(10x2 - 5)

 La derivada de un cociente

Ahora daremos la regla para la derivada de un cociente.

 

	f			f 'g - fg'
[		]'	=
	g			g2

  Traducción: la derivada de un cociente de dos funciones es (la segunda, por la derivada de la primera, menos la primera por la derivada de la segunda) entre la segunda al cuadrado.

 

		4x + 1
f(x)	=
		10x2 - 5
		4(10x2 - 5) - 20x(4x + 1)
f '(x)	=
		(10x2 - 5)2

 Las derivadas de las funciones trigonométricas

Ahora daremos las fórmulas para las derivadas de las funciones trigonométricas.

 

f(x) = sen(x) 

f(x+h) - f(x)		sen(h + x) - sen(x)
	=
h		h
		cos(x)sen(h) + cos(h)sen(x) - sen(x)
	=
		h
		cos(x)sen(h) + cos(h)sen(x) - sen(x)
f '(x) =	Lim[		] = cos(x)
	h0	h

   Ahora daremos el resto de las fórmulas para las derivadas de las funciones trigonométricas.

 

f(x)= sen(x)	f '(x)= cos(x)
f(x)= cos(x)	f '(x)= -sen(x)
f(x)= tan(x) = sen(x)/cos(x)	f '(x)= sec2(x)
f(x)= cot(x) = cos(x)/sen(x)	f '(x)= -csc2(x)
f(x)= sec(x)	f '(x)= sec(x) tan(x)
f(x)= csc(x)	f '(x)= -[cot(x) csc(x)]

La regla de la cadena

Las reglas de derivación que hemos definido hasta ahora no permiten encontrar la derivada de una función compuesta como (3x + 5)⁴, a menos que desarrollemos el binomio y luego se apliquen las reglas ya conocidas. Observa el siguiente ejemplo.

 

f(x)	=	(3x + 5)2	=	9x2 + 30 x + 25
f '(x)	=	18x + 30	=	6(3x + 5)
f(x)	=	(3x + 5)3	=	27x3 + 135x2 + 225x + 125
f '(x)	=	81 x2 + 270x + 225	=	9(3x + 5)2
f(x)	=	(3x + 5)4 =	81x4 + 540x3 + 1350x2 + 1500x + 625
f '(x)	=	324x3 + 1620x2 + 2700x + 1500 = 12(3x + 5)3
f(x)	=	(3x + 5)5
	=	243x5 + 2025x4  + 6750x3 + 11250x2 + 9375x + 3125
f '(x)	=	1215x4 + 8100x3 + 20250x2 + 22500x + 9375
	=	15 (3x + 5)4

  Observa que después de factorizar la derivada, en cada caso se obtiene la misma función, pero con el exponente disminuido en 1, multiplicada por un factor que es igual al producto del exponente original por la derivada de la función base.

 
 

Teorema 14: La derivada de una potencia entera de una función f. Sea y=[f (x)]n , entonces:  y'=n[f(x)](n-1) f '(x)

Ejemplo:

f(x)= (2x + 3)3    f '(x)= (3)(2x + 3)2(2) = 6(2x + 3)2

 

    Ahora que ya has visto cómo se van construyendo las reglas de derivación, veremos un último ejemplo.

 

f(x)= 2x sen(3x)  f '(x)= 6x cos(3x) + 2 sen(3x)

 

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DEFINICION DELA DERIVADA

 APRENDIENDO:

TIJUANA

Bueno la definición dela deriva, es nuestra primera clase para el segundo parcial es un tema bastante interesante  desde la parte de como el profesor explica i es bastante comprensivo en las dudas que tenemos, i  también la parte de uno mismo ir poco apoco perdiendo el miedo de aprender cosas nueva así como  preguntar cuando surjan dudas   de los ejercicios   de igual manera   me gusta aprender   aunque abecés sea un poco complicado trato de dar lo máximo de mi.

Definición de una derivada

Una animación que da una idea intuitiva de la derivada, ya que el «swing» de una función cambia cuando cambia el argumento.

Dada una función ${\displaystyle f}$, se puede definir una nueva función que, en cada punto ${\displaystyle x}$, toma el valor de la derivada ${\displaystyle f^{\prime }(x)}$. Esta función se denota ${\displaystyle f^{\prime }}$ y se denomina función derivada de ${\displaystyle f}$ o simplemente derivada de ${\displaystyle f}$. Esto es, la derivada de ${\displaystyle f}$ es la función dada por

${\displaystyle f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$.

Esta función sólo está definida en los puntos del dominio de ${\displaystyle f}$ donde el límite existe; en otras palabras, el dominio de ${\displaystyle f^{\prime }}$ está contenido en el de ${\displaystyle f}$.

Ejemplos

Considere la función cuadrática ${\displaystyle f(x)=x^2}$ definida para todo ${\displaystyle x\in \mathbb{R}}$. Se trata de calcular la derivada de esta función aplicando la definición

Para el caso general  tendríamos

${\displaystyle g^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{(x+h{)}^n-x^n}{h}}$

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