Calculo de volúmenes de solidos en revolución - Método de discos y aran daleas

 

Buenos días.

Bueno en  la clase pasada vimos calculo de volúmenes de solidos en revolución  métodos de discos y aran daleas, aun que seme a dificultado mas la materia trato de poner todo mi empeño  para obtener  el mejor aprendizaje posible y a estudiar mas  poner en practica lo aprendido.

El método de discos y el método de arandelas son técnicas de cálculo que permiten determinar el volumen de un sólido de revolución. 

Método de discos

Se basa en la idea de que el sólido de revolución se puede aproximar mediante discos.

El área de la sección transversal de un disco es igual al área de un círculo de radio 𝑅(𝑥). 

El volumen del sólido se calcula mediante la integral 𝑉 = ∫ a b A ( x ) d x. 

Método de arandelas

Es una versión modificada del método de discos, que se utiliza para calcular el volumen de un sólido de revolución hueco. 

Se basa en la idea de que el sólido de revolución se puede aproximar mediante arandelas. 

El volumen del sólido se calcula mediante la integral 𝑉 ( x ) = ∫ a b π ( [ f ( x ) ] 2 − [ g ( x ) ] 2 ) d x. 

Un sólido de revolución es un cuerpo que se genera al girar una figura plana alrededor de un eje. Por ejemplo, un cilindro se obtiene al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados. 

Sólidos de Revolución: Volúmenes por Arandelas 

Cómo calcular el volumen de un sólido en revolución?

Ya que el volumen se genera al girar en torno al eje -, el volumen se da por: V = ∫ c d 2 π r h d y , A partir de la figura, podemos identificar los límites de integración: va desde 0 hasta 4.

El cálculo de volúmenes de sólidos de revolución se puede realizar mediante varios métodos, entre ellos el método de discos y el método de arandelas. Ambos son técnicas que se utilizan cuando un área se rota alrededor de un eje para formar un sólido tridimensional. Vamos a ver cómo se aplica cada uno.

1. Método de discos:

Este método se usa cuando el sólido de revolución no tiene un agujero interno (es decir, el sólido es un cuerpo sólido). Para calcular el volumen usando el método de discos, se realiza una integral de la siguiente manera:

Fórmula:

Si una función $f(x)$ describe el borde superior de la región que se va a rotar alrededor del eje $x$, el volumen del sólido de revolución es:

$$V = \pi \int_{a}^{b} \left[ f(x) \right]^2 \, dx$$

Donde:

• $f(x)$ es la función que describe el perfil de la región que se rota.
• $[a, b]$ es el intervalo de integración sobre el eje $x$.

Si la región se rota alrededor del eje $y$, la fórmula sería similar, pero en términos de $y$, es decir:

$$V = \pi \int_{a}^{b} \left[ f(y) \right]^2 \, dy$$

En este caso, se usaría una función $f(y)$ que describe la región a lo largo del eje $y$.

Ejemplo:

Si la curva está dada por $y = f(x)$ y se rota alrededor del eje $x$ en el intervalo de $x = a$ a $x = b$, el volumen sería:

$$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx$$

2. Método de arandelas:

Este método se utiliza cuando el sólido de revolución tiene un agujero interno (es decir, el sólido tiene una cavidad). Aquí, el volumen se calcula como la diferencia entre el volumen de dos discos concéntricos.

Fórmula:

Si el sólido tiene una función exterior $f(x)$ que define el radio del disco exterior y una función interior $g(x)$ que define el radio del disco interior (el agujero), el volumen es:

$$V = \pi \int_{a}^{b} \left[ f(x)^2 - g(x)^2 \right] \, dx$$

Donde:

• $f(x)$ es la función que describe el radio del disco exterior.
• $g(x)$ es la función que describe el radio del agujero (disco interior).
• $[a, b]$ es el intervalo de integración sobre el eje $x$.

Si la región se rota alrededor del eje $y$, la fórmula también se puede escribir en términos de $y$:

$$V = \pi \int_{a}^{b} \left[ f(y)^2 - g(y)^2 \right] \, dy$$

Ejemplo:

Si tienes un sólido generado por rotar una región limitada por $y = f(x)$ y $y = g(x)$, y se rota alrededor del eje $x$ en el intervalo de $x = a$ a $x = b$, el volumen es:

$$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)^2 - g(x)^2] \, dx$$

Resumen de diferencias:

Método de discos: Usado cuando no hay cavidad interna. Calculas el volumen de un disco y lo sumas (integras) en el intervalo de interés.

Método de arandelas: Usado cuando hay un agujero interno (como un anillo). Calculas el volumen de la diferencia entre dos discos concéntricos.

La elección entre discos o arandelas depende de si el sólido tiene o no un agujero.

Con el método de discos, calculamos el volumen de un sólido sin cavidad interior.

Con el método de arandelas, calculamos el volumen de un sólido con una cavidad interna.

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Cálculo de áreas entre 2 gráficos

 BUENOS DIAS.

En la clase del sábado pasado nos toco ver el tema de calculo de área entre dos gráficos un tema bastante interesante pero ala ves un poco mas complicado, aun que es un poco mas complicado  trato de dar lo mejor de mi y poner mas atención para poder  entender mejor así como estudiar mas para aclara mis dudas.

El área entre dos gráficas se calcula mediante la integral definida de la diferencia entre las funciones en el intervalo que abarca las gráficas

El área entre las gráficas de y=f(x) y y=g(x) en el intervalo [a,b] está dada por el valor de la Integral Definida de |f-g| en [a,b]. 

El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función que está situada por encima menos el área de la función que está situada por debajo. 

Él área encerrada por dos funciones  y  viene determinada por la siguiente fórmula:

Donde los límites de integración  y  corresponden a los puntos de corte entre ambas funciones. Además  debe ser mayor o igual que . Que una función sea mayor que otra significa que para el mismo rango de valores de , el valor de la función es mayor y por tanto su gráfica queda representada por encima en los ejes de coordenadas. Ejemplos resueltos del área entre dos funciones1 Calcular el área del recinto limitado por la parábola  y la recta que pasa por los puntos  y .

En primer lugar hallamos la ecuación de la recta que pasa por los puntos indicados: Utilizaremos la forma punto-pendiente para encontrar la ecuación de la recta, para esto encontraremos la pendiente con los puntos dados

Utilizando la forma punto-pendiente

Esto lo haremos al resolver la ecuación

es decir, igualando las funciones

Integrando

2 Hallar el área de la figura limitada por: 

En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos funciones para conocer los límites de integración:

entonces

De  a , la recta queda por encima de la parábola

De  a , la recta queda por debajo de la parábola

entonces

3 Hallar el área de la región del plano limitada por las curvas  y los ejes coordenados.

Calculamos el punto de corte de la curva y la recta 

El área es igual al área del rectángulo  menos el área bajo la curva . Tenemos que el área de rectángulo es base por altura, entonces

El área bajo la curva  es:

entonces

4 Hallar el área del recinto plano y limitado por la parábola  y las tangentes a la curva en los puntos de intersección con el eje OX.

Puntos de intersección con el eje :

de donde obtenemos que los puntos son  y .

Ecuación de la tangente a la parábola en el punto 

de la forma punto-pendiente de la recta obtenemos que la ecuación es

Ecuación de la tangente a la parábola en el punto 

de la forma punto-pendiente de la recta obtenemos que la ecuación es

5 Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones , .

Calculamos los puntos de intersección

por tanto los puntos de intersección son  y .

Calcular el área limitada por la parábola  y la recta 

Solución

Comenzamos por encontrar los límites de integración igualando las funciones:

De  a , la recta queda por encima de la parábola.

Entonces el área esta dada por:

Calcular el área limitada por la parábola  y la recta 

Solución

Comenzamos por encontrar los límites de integración igualando las funciones:

De  a , la recta queda por encima de la parábola.

Entonces el área esta dada por:

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